Jak napínat síť – technologie a metody

tento článek potřebujete další nabídky pro ověření. Pomozte prosím vylepšit tento článek přidáním citací na spolehlivé zdroje. Nezdrojovaný materiál může být zpochybněn a odstraněn.
Najít zdroje: „Metoda natažené sítě“ – Novinky · noviny · knihy · vědec · JSTOR (červen 2017) (Přečtěte si, jak a kdy odstranit tuto šablonu zprávy)

В metoda natažené sítě (SGM) je numerická technika pro nalezení přibližných řešení různých matematických a inženýrských problémů, které mohou zahrnovat chování elastické sítě. Zejména meteorologové používají metodu natažené mřížky k předpovědi počasí [1] a inženýři metodu natažené mřížky používají k navrhování stanů a dalších tahových konstrukcí.

• 1 Zpřesnění sítě MKP a BEM
• 2 Řešení problému s minimální plochou
• 3 Hledání forem struktur napínacích tkanin
• 4 Problém rozvinutí a vytvoření řezného diagramu
• 5 Viz také
• 6 Doporučení
• 7 externí odkaz

Zjemnění sítě MKP a BEM

V posledních desetiletích se metody konečných prvků a hraničních prvků (MKP a BEM) staly základem průmyslového návrhu a analýzy. Stále větší a složitější struktury jsou modelovány pomocí MKP nebo MKP. Některé problémy v inženýrské analýze MKP a BEM však stále zůstávají relevantní. Prvním problémem je spolehlivost technické analýzy, která je vysoce závislá na kvalitě vstupních dat generovaných během fáze předběžného zpracování. Je známo, že automatické metody síťování se v této fázi staly široce používanými nástroji pro analýzu složitých modelů reálného světa. [2] S rostoucí popularitou FEM a BEM existuje pobídka ke zlepšení automatických síťovacích algoritmů. Všechny tyto algoritmy však mohou vytvářet zkreslené a dokonce nepoužitelné síťové prvky. Existuje několik metod, jak využít stávající síť a zlepšit její kvalitu. Například vyhlazování (také nazývané zjemnění sítě) je jednou z metod, která posouvá kotevní body, aby se minimalizovalo zkreslení prvku. Metoda natažené sítě (SGM) umožňuje získat pseudopravidelné sítě velmi snadno a rychle v jednokrokovém řešení (viz [3]).

Předpokládejme, že existuje libovolná trojúhelníková síť zasazená do plochého polygonálního jednoduchého koherentního obrysu a vytvořená automatickým síťovacím postupem (viz obr. 1). Dále lze předpokládat, že síť, považovaná za fyzický uzlový systém, je zdeformována řadou deformací. Předpokládá se, že celková potenciální energie tohoto systému je úměrná délce nějakého n-rozměrného vektoru se všemi segmenty sítě jako jeho komponenty.

Obr.1 Trojúhelníková síť ohraničená plochou polygonální jednosouvislou konturou

Potenciální energie má tedy následující podobu

Délka čísla segmentu j < styl zobrazení j >může být vyjádřena dvěma uzlovými souřadnicemi jako

R = ( X 12 − X 11 ) 2 + ( X 22 − X 21 ) 2 < styl zobrazení R = < sqrt <(X_ <12>-X_ ) ^ + (X_ -X_ ) ^ >>>

Lze také předpokládat, že souřadnicový vektor < X >< Displaystyle < X >> všech uzlů je asociován s nezkreslenou sítí a souřadnicový vektor < X ′ >< Displaystyle < X '>> je asociován s deformovanou sítí. Výraz pro vektor < X >< Styl zobrazení < X >> lze zapsat jako

Definice vektoru < X >< Displaystyle < X >> je spojena s minimalizací kvadratického tvaru Π < Displaystyle Pi>přes inkrementální vektor < Δ X >< Displaystyle < Delta X >> , tzn.

Po všech transformacích můžeme napsat následující dva nezávislé systémy lineárních algebraických rovnic

• [ A ] < Styl zobrazení [ A ]>— symetrická matice ve formě proužků, podobná globální matici tuhosti sestavy MKP,
• < Δ X 1 >< Styl zobrazení < Delta X_ >> a < Δ X 2 >< Styl zobrazení < Delta X_ >> – přírůstkové vektory souřadnic všech uzlů podél os 1, 2,
• < B 1 >< Styl zobrazení < B_ >> a < B 2 >< Styl zobrazení < B_ >> jsou vektory pravé strany kombinované souřadnicemi všech uzlů v osách 1, 2.

Obr.2 Vlevo: zdeformovaná 2D síť, vpravo: opravená síť

Řešení obou systémů, při zachování konzervativních všech hraničních uzlů, získává nové pozice vnitřních uzlů odpovídající nezkreslené síti s pseudoregulárními prvky. Například na Obr. 2 znázorňuje obdélníkovou oblast pokrytou trojúhelníkovou sítí. Původní automatická síť obsahuje několik degenerativních trojúhelníků (levá síť). Finální síť (pravá síť) vyrobená postupem SGM je pseudopravidelná bez jakýchkoli deformovaných prvků.

Vzhledem k tomu, že výše uvedené systémy jsou lineární, postup se velmi rychle stává jednokrokovým řešením. Poloha každého konečného vnitřního uzlu navíc splňuje požadavek na aritmetický průměr souřadnic uzlů, které jej obklopují, a splňuje také Delaunayovo kritérium. Proto má SGM všechny kladné hodnoty Laplaciových a dalších vyhlazovacích přístupů, ale je mnohem jednodušší a robustnější díky celočíselné reprezentaci konečných matic. Konečně, výše popsaná SGM je dokonale použitelná nejen pro 2D sítě, ale také pro 3D sítě sestávající z libovolných homogenních buněk, stejně jako smíšených nebo přechodových sítí.

Řešení problému minimálního povrchu

Matematicky se plocha vložená do nerovinné uzavřené křivky nazývá minimální, pokud je její plocha mezi všemi plochami procházejícími touto křivkou minimální. Nejznámějším příkladem minimálního povrchu je mýdlový film ohraničený drátěným rámem. Typicky se k vytvoření minimální plochy používá fiktivní konstitutivní zákon, který udržuje konstantní předpětí bez ohledu na jakékoli změny napětí. [4] Alternativní přibližný přístup k řešení problému minimálního povrchu je založen na SGM. Toto složení umožňuje minimalizovat povrch zapuštěný do nerovinných a rovinných uzavřených obrysů.

Obrázek 3. Povrch katenoidu

Cílem je aproximovat část povrchu vloženou do 3D nerovinného obrysu pomocí libovolné trojúhelníkové sítě. Pro zmenšení takové trojúhelníkové sítě na minimální plošnou síť je třeba vyřešit dva stejné systémy popsané výše. Přírůstky třetích souřadnic uzlu mohou být dále definovány podobným systémem na ose XNUMX následovně

Řešením všech tří systémů současně je možné získat novou síť, která bude aproximovat minimální plochu vnořenou do nerovinné uzavřené křivky díky minimu funkce Π < Displaystyle Pi>kde parametr j = 1, 2, 3 < Styl zobrazení J = 1,2,3>.

Jako příklad je na Obr. 3. Poloměry prstenců a výška katenoidu se rovnají 1,0. Číselná plocha katenoidálního povrchu určená pomocí SGM je 2,9967189 (přesná hodnota 2,992).

Hledání forem struktur napínacích tkanin

Obr.4 Hypar (hyperbolický paraboloid)

Obr.5 Vrchlík sedla

Pro strukturální analýzu je konfigurace konstrukce obvykle předem známa. To neplatí pro napínací struktury, jako jsou struktury napínacích tkanin. Protože membrána v tahové struktuře nemá tuhost v ohybu, její tvar nebo konfigurace závisí na počátečním předpětí a zatížení, kterému je vystavena. Únosnost a tvar membrány tedy nelze oddělit a obecně je nelze popsat pouze jednoduchými geometrickými modely. Tvar membrány, strukturální zatížení a vnitřní napětí se vzájemně ovlivňují nelineárním způsobem a splňují rovnovážné rovnice.

Obr.6 Model mřížky krytiny tanečního parketu

Obr.7 Vizualizace povrchu tanečního parketu

Obr.8 Skutečná krytina tanečního parketu

Předběžný návrh tahových struktur zahrnuje určení počáteční konfigurace, nazývané vyhledávání tvaru. Kromě splnění podmínek rovnováhy musí počáteční konfigurace splňovat architektonické (estetické) i strukturální (pevnost a stabilita) požadavky. Kromě toho musí být splněny požadavky na prostor a světlost, hlavní napětí membrány musí být v tahu, aby se zabránilo vrásnění, a poloměry povrchu s dvojitým zakřivením musí být dostatečně malé, aby vydržely zatížení mimo rovinu a zajistily stabilitu konstrukce (viz [5] ). Bylo vyvinuto několik variant přístupů zjišťování tvaru založených na FEM, které pomáhají inženýrům při navrhování struktur tahových tkanin. Všechny jsou založeny na stejném předpokladu, který se používá pro analýzu chování tahových konstrukcí při různém zatížení. Jak však někteří výzkumníci poznamenali, může být někdy vhodnější použít takzvané „minimální povrchy“ při navrhování tahových struktur.

Fyzikální význam SGM je snížit energii libovolné mřížkové struktury zasazené do tuhého (nebo elastického) trojrozměrného obrysu na minimum, které je ekvivalentní minimálním celkovým vzdálenostem mezi libovolnými páry mřížkových uzlů. To nám umožňuje najít řešení problému minimální povrchové energie a nahradit hledání minimální celkové energie mřížkové struktury, která poskytuje mnohem jednodušší konečný systém algebraických rovnic než obvyklá formulace MKP. Zobecněná formulace SGM předpokládá možnost aplikace sady vnějších sil a tuhých nebo elastických vazeb na uzly síťové struktury, což umožňuje simulovat různé vnější efekty. Pro takovou formulaci SGM můžeme získat následující výraz

Π = ∑ j = 1 p D j r j 2 + ∑ i = 1 3 ( ∑ k = 1 m C i k Δ x i k 2 − ∑ k = 1 m p i k Δ x i k ) < styl zobrazení Pi = součet _ ^ D_ R_ ^ + součet vlevo ( součet _ < k = 1>^ C_ Delta X_ ^ — součet _ ^ P_ Delta X_ vpravo)>

Problém rozvinutí a vytvoření řezného diagramu

Jakmile je nalezen vyhovující tvar, lze vytvořit řezný vzor. Tahové struktury se velmi liší velikostí, zakřivením a tuhostí materiálu. Aproximace řezného vzoru je vysoce závislá na každém z těchto faktorů. Pro metodu střihového vzoru je důležité minimalizovat možnou aproximaci a získat spolehlivá data o ploché tkanině.

Cílem je vyvinout tvary popsané těmito údaji co nejblíže ideálním dvojitě zakřiveným pásům. Vytvoření vzoru řezání se obvykle skládá ze dvou fází. Za prvé, celková plocha napínací konstrukce je rozdělena na samostatná plátna. Vhodný vzor střihu pro druhý krok najdete tak, že jednoduše vezmete každý pruh látky a rozložíte jej na rovnou plochu. V případě ideálního bikonvexního povrchu membrány nelze podpovrch jednoduše rozvinout a je nutné je vyrovnat. Například v [6][7] byl SGM použit k vyřešení problému zploštění.

Úkol vytvoření řezného vzoru je vlastně rozdělen do dvou nezávislých nastavení. Je to vytvoření plochého tvaru bez deformace, který rozvine každý pruh látky a zploští dvojitě zakřivené povrchy, které nelze jednoduše rozvinout. Po pečlivém prostudování problému můžete vidět, že z pozice diferenciální geometrie jsou obě kompozice stejné. Můžeme si to představit jako izometrické zobrazení povrchu do roviny, které bude konformním zobrazením a ekvivalentním zobrazením zároveň díky neměnnosti úhlů mezi libovolnými křivkami a neměnnosti libovolných kusů plochy. V případě plochy s jednou křivkou, kterou lze přesně rozvinout, umožňuje mapování stejné plochy získat střih struktury tkaniny bez zkreslení. Druhý typ povrchů lze mapovat na rovnoplošném základě pouze přibližně s určitými deformacemi lineárních povrchových prvků omezených vlastnostmi tkaniny. Předpokládejme, že dva povrchy jsou parametrizovány tak, že jejich první kvadratické formy lze zapsat následovně

I 1 = E 1 ( u , v ) d ⁡ u 2 + 2 F 1 ( u , v ) d ⁡ u d ⁡ v + g 1 ( u , v ) d ⁡ v 2 < styl zobrazení I_ = E_ (u, v ) jméno operátora u ^ + 2F_ (u, v) jméno operátora u jméno operátora v + G_ (u, v) jméno operátora v ^ >i 2 = E 2 ( u , v ) d ⁡ u 2 + 2 F 2 ( u , v ) d ⁡ u d ⁡ v + g 2 ( u , v ) d ⁡ v 2

Konformní stav mapování pro dva povrchy, jak je formulován v diferenciální geometrii, to vyžaduje

kde λ je koeficient povrchového zkreslení v důsledku konformního mapování.

Je známo, že první kvadratická forma odráží vzdálenost mezi dvěma body na povrchu (u, v) < Styl zobrazení (u, v)>u ( u + d ⁡ u, v + d ⁡ v ) < Styl zobrazení (u + OperatorName u, v + OperatorName v)>. Když je poměr λ blízký 1, výše uvedená rovnice konverguje k podmínce izometrického mapování a k mapování se stejnou plochou v důsledku invariantních úhlů mezi libovolnými křivkami a invariantnosti libovolných částí oblasti. . Pamatujte, že první fáze hledání tvaru je založena na trojúhelníkové síti povrchu a použití metody váženého zbytku k popisu izometrického a ekviplanárního zobrazení minimálního povrchu na rovnou plochu, můžeme napsat následující funkci, která je určen součtem integrálů na segmentech křivočarých trojúhelníků

Π = D ∑ j = 1 p ∮ S j w j ( λ i 1 − i 2 ) 2 d ⁡ s < styl zobrazení Pi = D suma _ ^ mast _ >w_ vlevo ( lambda < sqrt >> – < sqrt >> vpravo ) ^ jméno operátora s>

• n — celkový počet buněk mřížky,
• w j – váhové koeficienty,
• Π – obecný zbytek displeje,
• D je konstanta, která neovlivňuje konečný výsledek a lze ji použít jako faktor měřítka.

Vzhledem k ostatním váhovým koeficientům w j = 1 < styl zobrazení w_ = 1 >můžeme rovnici přeskupit. do přibližného konečného součtu, který je kombinací lineárních vzdáleností mezi uzly povrchové sítě, a zapište základní podmínku pro rovnoměrné plošné zobrazení povrchu alespoň na následující nelineární funkci

Π = D ∑ j = 1 p ∮ S j w j ( λ R j − L j ) 2 d ⁡ s < styl zobrazení Pi = D součet _ ^ mast _ >w_ vlevo ( lambda R_ -L_ vpravo) ^ jméno operátora s>

• r j < Displaystyle R_ >– počáteční délka čísla lineárního segmentu j < displaystyle j>,
• L j < Styl zobrazení L_ >je konečná délka čísla segmentu j < styl zobrazení j>,
• λ — koeficient zkreslení se blíží 1 a může být pro každý segment jiný.

Počáteční a koncovou délku segmentu číslo j < displaystyle j >lze jako obvykle vyjádřit dvěma uzlovými souřadnicemi jako

R = ( X 12 − X 11 ) 2 + ( X 22 − X 21 ) 2 + ( X 32 − X 31 ) 2 < styl zobrazení R = < sqrt <(X_ <12>-X_ ) ^ + (X_ -X_ ) ^ + (X_ -X_ ) ^ >>> L = ( X 12 − X 11 ) 2 + ( x 22 − x 21 ) 2 < styl zobrazení L = < sqrt <(x_ <12>-x_ ) ^ + (x_ -x_ ) ^ >>>

• X i k < Displaystyle X_ >– souřadnice uzlů počátečního řezu,
• X i k < styl zobrazení x_ >– souřadnice uzlů konečného řezu.

Podle výchozího předpokladu můžeme napsat x 32 = x 31 = 0 < Styl zobrazení x_ = x_ = 0 >pro zobrazení rovného povrchu. Výraz pro vektory < X >< Displaystyle < x >> a < X >< Displaystyle < X >> s přírůstky souřadnic, životnost lze zapsat jako